Matemática para FUVEST

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A segunda fase da Fuvest terá algumas mudanças esse ano! A prova será em apenas dois dias em 2019, e não mais em três, como era até 2018. Nos dias 6 e 7 de janeiro, os vestibulandos irão prestar o exame, que será distribuída da seguinte forma:

DIA 6: português (10 questões) e redação;

DIA 7: 12 questões de duas, três ou quatro disciplinas, de acordo com a carreira escolhida.

Para algumas carreiras, há prova de Habilidades Específicas de caráter eliminatório e classificatório.

A USP está disponibilizando no vestibular Fuvest 8.362 vagas divididas por modalidades de Ampla Concorrência, Escola Pública e Escola Pública PPI (autodeclarados pretos, pardos e indígenas).

Na área de Matemática, os conteúdos mais frequentes são Geometria Plana, Inequações, Conjuntos numéricos, Progressão Geométrica e Sistemas Lineares. Separamos algumas questões para você se preparar com o Galileo para a segunda fase!

MATEMÁTICA

(FUVEST 2018) No plano cartesiano real, considere o triângulo ABC, em que A = (5,0), B = (8,0), C = (5,5), e a reta de equação y = αx, 0 < α < 1. Seja ƒ(α) a área do trapézio ABED, em que D é a intersecção da reta y = αx com a reta de equação x = 5, e o segmento DE é paralelo ao eixo Ox.

a) Encontre o comprimento do segmento DE em função de α.

b) Expresse ƒ(α) e esboce o gráfico da função ƒ.

RESOLUÇÃO

a) Do enunciado, tem-se a seguinte figura:

Da figura, tem-se BA = 3, CA = 5 e CD = 5 – 5α.

Como os triângulos CDE e CAB são semelhantes, tem-se:

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b) A área S do trapézio ABED é dada por:

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Assim, o gráfico de f(α), com 0 < α < 1, é dado por:

(FUVEST 2017) Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x cm. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas.

a) Expresse o volume da caixa em função de x.

b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 384 cm3.

RESOLUÇÃO

a)

A área da base é (16 – 2x)(20 – 2x) cm2, ou seja, 4(8 – x)(10 – x) cm2. Como a altura é x cm, o volume da caixa é dado por 4x(8 – x)(10 – x) cm3, com 0 < x < 8.

Resposta: 4x(8 – x)(10 – x) cm3.

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b) De , tem-se:

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Por uma pesquisa de raízes racionais, pode-se concluir que 2 é um zero do polinômio.

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Os zeros de x2 – 16x + 48 são 4 e 12.

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Logo,

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Com a condição 0 < x < 8, conclui-se que o volume da caixa é maior ou igual a 384 cm3 se, e somente se,

Resposta: [2, 4].


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